Question

15．在对于实数x，[x]表示不超过的最大整数，观察下列等式：
[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=3
[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=10
[$\sqrt{9}$]$+[\sqrt{10}]+[\sqrt{11}]+[\sqrt{12}]$+[$\sqrt{13}$]+[$\sqrt{14}$]+[$\sqrt{15}$]=21
按照此规律第n个等式为[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=2n²+n．

Answer 1

分析 [x]表示不超过x的最大整数，分别研究等式的左边和右边，归纳出规律即可求出第n个等式的等号右边的结果．

解答 解：因为[x]表示不超过x的最大整数，
所以[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=1，[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=2，…，
因为等式：[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=3
[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=10
[$\sqrt{9}$]$+[\sqrt{10}]+[\sqrt{11}]+[\sqrt{12}]$+[$\sqrt{13}$]+[$\sqrt{14}$]+[$\sqrt{15}$]=21，
…，
所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3，
第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10，
第3个式子的左边有7项、右边3×7=21，
则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边=n（2n+1）=2n²+n，即[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=2n²+n．
故答案为：[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=2n²+n．

点评 本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．