题目内容
28、已知数列{an}、{bn}满足：a1=1，a2=a（a为实数），且bn=an．an+1，其中n=1，2，3，…
（1）求证：“若数列{an}是等比数列，则数列{bn}也是等比数列”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
（1）求证：“若数列{an}是等比数列，则数列{bn}也是等比数列”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
（I）因an是等比数列，
a1=1，a2=a
∴an=an-1
∵bn=an．an+1，
∴
=
=
=a2
∴bn是以a为首项，a2为公比的等比数列．
（II）（I）中命题的逆命题是：若bn是等比数列，则an也是等比数列，是假命题．
设bn的公比为q则
=
=
=q，(q≠0)
又a1=1，a2=a
∴a1，a3，…a2n-1是以1为首项，q为公比的等比数列，
a2，a4…a2n…是以a为首项，q为公比的等比数列，
即an为1，a，q，aq，q2，aq2，
但当q≠a2时，an不是等比数列，故逆命题是假命题．
a1=1，a2=a
∴an=an-1
∵bn=an．an+1，
∴
| bn+1 |
| bn |
| an+1an+2 |
| anan+1 |
=
| an+2 |
| an |
∴bn是以a为首项，a2为公比的等比数列．
（II）（I）中命题的逆命题是：若bn是等比数列，则an也是等比数列，是假命题．
设bn的公比为q则
| bn+1 |
| bn |
| an+1an+2 |
| anan+1 |
| an+2 |
| an |
又a1=1，a2=a
∴a1，a3，…a2n-1是以1为首项，q为公比的等比数列，
a2，a4…a2n…是以a为首项，q为公比的等比数列，
即an为1，a，q，aq，q2，aq2，
但当q≠a2时，an不是等比数列，故逆命题是假命题．
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