Question

甲乙共同拥有一块形状为等腰三角形的地ABC，其中∠C=120°，AC=BC=a．如果画一条线使两块地面积相等，其中两端点P、Q分别在线段AB，AC上．
（1）如果建一条篱笆墙，如何划线建墙费用最低？
（2）如果在PQ线上种树，如何划线种树最多？

Answer 1

分析：（1）要使造墙费用最少，即使PQ最短，利用分割后得面积相等，寻找等量关系，再利用基本不等式求PQ的最小值；
（2）要使果树的产量最大，即使PQ最长，利用分割后得面积相等，寻找等量关系，再利用函数的单调性求PQ的最大值

解答：解：（1）设AQ=x，AP=y，AB=AC=a，∠C=120°∴AB=

3

a
又

1

2

a≤x≤a，

3

2

a≤y≤

3

a，S△ABC=

3

4

a2，则S△APQ=

1

2

xysin30°=

3

8

a2xy=

3

2

a2
由余弦定理知PQ=

x2+y2-2xycos30°

≥

3 - 3 2

a，当且仅当x=y=

4 12

2

a时，PQ最短，
∴x=y=

4 12

2

a时，费用最低．                …（6分）
（2）∵xy=

3

2

a2，0＜y≤

3

2

a，∴

1

2

a≤x≤a
PQ²=x²+y²-2xycos30°=x2+

3a4

4x2

-

3a2

2

(

1

2

a≤x≤a)，
构建函数f（x）=x2+

3a4

4x2

-

3a2

2

(

1

2

a≤x≤a)，则f′(x)=2x-

3a4

2x3

∴f（x）在[

1

2

a，

4 12

2

a]上递减，在[

4 12

2

a，a]上递增，
∵f(a)=

1

4

a2，f(

a

2

)=

7

4

a2
∴当x=

1

2

a时，即P位于B点，Q位于AC的中点，PQ最长，种的果树最多．…（12分）

点评：本题主要考查函数模型的建立及最值的求解，正确理解题意，等价转化是关键．