题目内容

(本小题满分14分)已知函数=.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
(1)值域为 .(2)满足条件的不存在. (3)函数不具备性质“”.
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)因为,然后分析导数的正负,然后判定单调性得到值域。
(2)令,则由(1)可得,原问题等价于:对任意的上总有两个不同的实根,故不可能是单调函数,对于参数a讨论得到结论。
(3)结合导数的几何意义得到结论。
(1),当时,时, 
在区间上单调递增,在区间上单调递减,且
 的值域为 .          ………………………….3分
(2)令,则由(1)可得,原问题等价于:对任意的上总有两个不同的实根,故不可能是单调函数  ……5分
   
时, 在区间上递减,不合题意 ;
时, ,在区间上单调递增,不合题意;
时, ,在区间上单调递减,不合题意;
时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增,由上可得,此时必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1, 而由可得,则.
综上,满足条件的不存在.……………………………………………8分
(3)设函数具备性质“”,即在点处地切线斜率等于,不妨设,则,而在点处的切线斜率为,故有……..10分
,令,则上式化为
,则由可得上单调递增,故,即方程无解,所以函数不具备性质“”.……..14分
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