Question

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1）
（1）当，求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[0，2]，求f（x）的最小值（用t表示）；
（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，，从而可求函数的定义域
（2）令g（x）=x²+tx+1，要求函数f（x）的最小值，根据复合函数的单调性可知，只要求解函数g（x）的最小值即可，结合图象，需判断对称轴与区间[0，2]的位置关系，分类讨论①②③
（3）解法一：假设存在，则由已知得等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根…..令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点，结合函数的图象可得
解法2：假设存在，则由已知得等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根
等价于，做出函数图象，结合函数的图象可求t的范围
解答：解：（1）（2分）
（2）令g（x）=x²+tx+1，结合图象可得


考虑到g（x）＞0，所以

2°-4＜t≤-2，没有最小值…（1分）

考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值…（1分）
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；

（3）解法一：假设存在，则由已知得等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根…..（2分）令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴（2分）
解法2：假设存在，则由已知得等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根（2分）
等价于，做出函数图象
可得（2分）
点评：本题主要考查了对数函数定义域的求解，复合函数单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意考虑对称轴与区间位置关系的讨论，二次方程的实根分布问题的应用，本题的综合性比较强．