Question

已知函数f(x)=ln

1+2x

+mx．
（1）当m=-1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当m=1时，设点A、B是函数y=f（x）（x∈[0，1]）的图象上任意不同的两点，求证：直线AB的斜率k_AB＜2．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，根据定义域，结合函数的导函数确定函数的单调性，从而可确定函数的最值；
（I2）当m=1时，利用斜率的定义，构造新函数得到函数在[0，1]上递减，即可得到结论．

解答：（1）解：m=-1时，f(x)=ln

1+2x

-x
求导函数，可得：f′（x）=

1

1+2x

-1=-

2x

1+2x

(x＞-

1

2

 )．
令f′（x）＞0，可得-

1

2

＜x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0，
∴x=0时，函数取得最大值0；
（2）证明：当m=1时，f(x)=ln

1+2x

+x
设点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂
∴k_AB＜2，等价于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2，∴f（x₂）-2x₂＜f（x₁）-2x₁
令h（x）=f（x）-2x=f(x)=ln

1+2x

-x，由（1）知它在[0，1]上递减，
∵x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂
∴h（x₁）＞h（x₂）
即f（x₂）-2x₂＜f（x₁）-2x₁
综上所述，当m=1时，直线AB的斜率k_AB＜2

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查解决问题的能力和分析问题的能力，是一个中档题．