Question

自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与x_n成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正数a，b，c其中b称为捕捞强度．

(1)求x_n+1与x_n的关系式；

(2)设a＝2，c＝1，为了保证对任意x₁∈(0，2)，都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)从第年初到从第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，依题意 　　 　　即 　　(2)若的值使得，由，知特别地有，即而，所以，以下去证当时，恒有，由此确定的允许最大值是1． 　　①当时，结论显然成立． 　　②假设当时结论成立，即． 　　则当时， 　　因为，所以． 　　故当时结论也成立． 　　由①②可知对于任意恒有 　　综上，为了保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1