Question

【题目】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）已知点， ，经过点的直线与动点的轨迹交于， 两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．

试题解析：

（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.

依题意，圆内切于圆，设切点为，则， ， 三点共线，

为的中点， 为中点，

.

，

∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为，

则， ，

， ，

，

动点的轨迹方程为.

（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由消去y整理得.

∵直线与椭圆交于， 两点，

∴，

解得．

设， ，

则，

（定值）．