Question

【题目】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据函数解析式先求得导函数，由极值点存在条件可知，可得；再求得导函数的极值点，即可由导函数的极值点是的零点代入求得等量关系，结合不等式求得定义域.

（2）利用分析法分析可知，若证明，只需证明，利用换元法转化并求得导函数，结合导函数的单调性和最值证明不等式成立即可.

（1）函数,

则，

因为有极值点，所以，

化简可得，

导函数的极值点是的零点.

而导函数的极值点为二次函数顶点的横坐标，所以是的零点.

即，

代入可得，化简可知，

又，即，解得，

，

（2）证明:要证，，

只要证，

只要证，

只要证，

设，，则，

所以，，

，

，

原式得证.