已知a.b.c分别是△ABC中角A.B.C的对边.G是△ABC的三条边中线的交点.若$\overrightarrow{GA}$+(a+b)$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$.且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥cos2x-msinx恒成立.则实数m的取值范围为( )A．B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边中线的交点，若$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥cos2x-msinx（x∈R）恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．

（-4，4）

B．

（4，4+2$\sqrt{2}$]

C．

[-4-2$\sqrt{2}$，-4）

D．

[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]

分析先根据重心的性质以及向量的有关知识得到a+b=1，再根据基本不等式求出$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值，利用二倍角公式，令t=sinx，t∈[-1，1]，构造函数设f（t）=2t²+mt+2+2$\sqrt{2}$，再利用二次函数的性质分类讨论求得f（t）的最小值，再根据此最小值大于或等于0，求得m的范围．

解答解：∵G是△ABC的三条边中线的交点，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴1=a+b=c，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=1+2+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$-1，b=2-$\sqrt{2}$时取等号，
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥cos2x-msinx（x∈R）恒成立，
∴cos2x-msinx≤3+2$\sqrt{2}$（x∈R）恒成立，
∴1-2sin²x-msinx≤3+2$\sqrt{2}$（x∈R）恒成立，
设sinx=t，t∈[-1，1]，
∴2t²+mt+2+2$\sqrt{2}$≥0在[-1，1]恒成立，
设f（t）=2t²+mt+2+2$\sqrt{2}$=2（t+$\frac{m}{2}$）²+2+2$\sqrt{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$，
当-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2时，f（t）_min=2+2$\sqrt{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$，由2+2$\sqrt{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$≥0，解得-2≤m≤2，
当-$\frac{m}{2}$＞1时，即m＜-2时，f（t）的最小值为f（1）=m+4+2$\sqrt{2}$，
再由m+4+2$\sqrt{2}$≥0，解得-4-2$\sqrt{2}$≤m＜-2
当-$\frac{m}{2}$＜-1时，即m＞2时，f（t）的最小值为f（-1）=-m+4+2$\sqrt{2}$，
再由-m+4+2$\sqrt{2}$≥0，解得2＜m≤4+2$\sqrt{2}$，
综上所述m的取值范围为[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]，
故选：D