Question

【题目】如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1 ， l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得b=1，2a=4，即a=2．

∴椭圆C1的方程为 ；

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．

又圆 的圆心O（0，0）到直线l1的距离d= ．

∴|AB|= = ．

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立 ，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得 ，

∴|PD|= ．

∴三角形ABD的面积S△= = ，

令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，

f（t）= = = ，

∴S△= ，当且仅 ，即 ，当 时取等号，

故所求直线l1的方程为 ．

【解析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），D（x0 ， y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1 ， 可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．