Question

【题目】若函数f（x）同时满足：

①对于定义域上的任意x恒有f（x）+f（﹣x）＝0，

②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有0，则称函数f（x）为“理想函数”．

给出下列四个函数中①f（x）； ②f（x）； ③f（x）；④f（x），

能被称为“理想函数”的有_______________（填相应的序号）．

Answer 1

【答案】③④

【解析】

由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，对四个函数，分别考虑其奇偶性和单调性，即可得到正确结论．

由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，

由①f（x）为{x|x≠0}的奇函数，在x＞0，x＜0函数递减，不为“理想函数”；

由②f（x），可得f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，不为“理想函数”；

由③f（x）（﹣1＜x＜1），f（﹣x）+f（x）＝log2log2log21＝0，

可得f（x）为﹣1＜x＜1的奇函数，且0＜x＜1时，f（x）＝log2（1）递减，

即有f（x）在（﹣1，1）递减，为“理想函数”；

对于④f（x），即f（x）＝﹣x|x|，可得f（x）为R上的奇函数，且为减函数，

故④为“理想函数”．

故答案为：③④．