Question

（1）解关于x的不等式x+|x-1|≤3；
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由不等式x+|x-1|≤3，可得

x≤1 1≤3

，或 

x＞1 2x-1≤3

，解得 x≤2，
故不等式的解集为（-∞，2]．
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．
当x≥1时，不等式化为x+x-1≤a，即x≤

1+a

2

．此时不等式有解当且仅当1≤

1+a

2

，即a≥1．
当x＜1时，不等式化为x+1-x≤a，即1≤a．此时不等式有解当且仅当a≥1．
综上所述，若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，则实数a的取值范围是[1，+∞）．