Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x²代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB．
（2）假设存在实数k，使成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知．根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入求得k．
解答：解：（Ⅰ）如图，设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韦达定理得，x₁x₂=-1，
∴，∴N点的坐标为．
设抛物线在点N处的切线l的方程为，
将y=2x²代入上式得，
∵直线l与抛物线C相切，
∴，
∴m=k，即l∥AB．

（Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴．
由（Ⅰ）知=．
∵MN⊥x轴，
∴．
又=．
∴，
解得k=±2．
即存在k=±2，使．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．