Question

【题目】若方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4 ， 则2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（ ）
A.（8，6 ）
B.（6 ，4 ）
C.[8，4 ]
D.（8，4 ]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意， 作函数y=|x2﹣2x﹣1|的图象如下，

由图象知，0＜t＜2，
∵|x2﹣2x﹣1|﹣t=0，
∴|x2﹣2x﹣1|=t，
故x2﹣2x﹣1﹣t=0或x2﹣2x﹣1+t=0，
则x4﹣x1= = ，
x3﹣x2= ，
故2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）
=2 + ，
令f（t）=2 + ，
令f′（t）= =0得，
t= ，
故f（t）在（0， ）上是增函数，在（ ，2）上是减函数；
而f（ ）=4 ，f（0）=6 ，f（2）=8；
故2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（8，4 ]，
故选：D．