Question

已知椭圆的焦点是F₁(-4，0)、F₂(4，0)，过F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为O，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上的不同两点A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)满足条件|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)由椭圆定义及已知条件知

2a=|F₁B|+|F₂B|=10．∴a=5，

又c=4，∴b²=a²-c²=9

故椭圆方程为=1

(2)由点B在椭圆上，可知|F₂B|=|y_B|=，而椭圆的右准线方程为x=，离心率为，由椭圆定义有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂)．

依题意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|

则5-x₁+5-x₂=2×  ∴x₁+x₂=8，(8分)

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，则x₀==4，

即弦AC的中点的横坐标为4

(3)由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，在椭圆上得9=9×25，

9=9×25，两式相减整理得

9=0

(x₁≠x₂)将=x₀=4,=y₀，

(k≠0)代入得9×4+25y₀()=0即k=

由于P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，

∴y₀=4k+m，于是m=y₀-4k=y₀-.

而，

∴＜m＜．