Question

已知椭圆的焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中项．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△PF₁F₂面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程；（Ⅱ）先表达出△PF₁F₂面积，再结合图形求面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题设|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4（2分）∴2a=4，2c=2，∴b=

3

（4分）
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y）△PF₁F₂面积S=

1

2

|F1F2|•|y|=

1

2

×2c×|y|=

1

2

×2|y|=|y|（8分）
所以当|y|取最大值时，△PF₁F₂面积的面积最大，所以点P为椭圆短轴端点时|y|取最大值（10分）
此时y=±

3

，即P（0，±

3

），△PF₁F₂面积的最大值S=

3

（12分）

点评：本题椭圆标准方程的求解利用了椭圆的定义，关键是求出其基本量，求面积的最大值，转化为点P的纵坐标到y轴距离最大问题，则利用了图形可以解决，体现了数形结合得数学思想．