Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
（Ⅰ）试判断F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当0＜a＜b时，求证：f（b）-f（a）＞．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据已知求出F（x）的解析式及其导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可判断出函数的单调性；
（II）结合（I）中函数的单调性，可得，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，即lnx＞，当0＜a＜b时，令x=，代入可得结论．
解答：解：（I）∵函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）的定义域为[1，+∞）
∴F′（x）=2xlnx+-2=2xlnx+
当x≥1时，F′（x）≥0恒成立
故函数F（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）在定义域[1，+∞）上为增函数
（II）由（1）知，当x＞1时，F（x）＞F（1）=0
即当x＞1时，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0
lnx＞…①
令x=，当0＜a＜b时，＞1
由①可得ln=lnb-lna＞=
∴当0＜a＜b时，f（b）-f（a）＞．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，其中（I）的关键是熟练掌握导数法求函数单调性的步骤，（II）的关键是得到lnx＞．