Question

【题目】已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，且当时，，则当时，方程的所有根之和为_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

根据题意，得函数关于直线对称，进而得是以为周期的函数，再得其单调性，再分段探究方程的根的情况，即可得到结论.

由，得函数的图象关于直线对称，所以，又因为是奇函数，则有，从而有，

所以是以4为周期的函数，

由周期性知，函数的图象关于直线对称．

由题意，在上单调递增，其值域为，此时方程无解，

由对称性知在上单调递减，其值域为，此时方程也无解，

由函数的图象关于原点成中心对称知，方程在和上各有一根，由对称性知两根之和为．

由周期性知方程在和上各有一根，由对称性知两根之和为6．在区间上无解．所以在上共有4个根，其和为4．

故答案为：.