Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，C=

π

3

，且sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：由正弦定理化简sinB=2sinA，得到a与b的关系式，记作①，然后由c和cosC的值，利用余弦定理得到a与b的另一个关系式，记作②，联立①②，即可求出a与b的值，根据三角形的面积公式，由a，b和sinC的值即可求出△ABC的面积．

解答：解：由sinB=2sinA及正弦定理得：b=2a①，
由c=2，C=

π

3

及余弦定理得：a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=c²=4，即a²+b²-ab=4②，
联立①②，解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

2 3

3

×

4 3

3

×

3

2

=

2 3

3

．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．