Question

已知数列{a_n}，a1=

5

6

，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0(n∈N*，n≥2)都有根α，β，且满足3α-αβ+3β=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将α+β=

an

an-1

，αβ=

1

an-1

代入3α-αβ+3β=1，得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，故an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由nan=n(

1

3

)n+

1

2

n，知Sn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+

4

34

+…+

n

3n

+

1

2

(1+2+3+…+n)，令T_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

．利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵将α+β=

an

an-1

，αβ=

1

an-1

代入3α-αβ+3β=1，
得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，（2分）
∴an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)，
∴

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

为定值．又a₁-

1

2

=

1

3

，
∴数列{a_n-

1

2

}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列．（5分）
∴a_n-

1

2

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．（6分）
（Ⅱ）∵nan=n(

1

3

)n+

1

2

n，
∴Sn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+

4

34

+…+

n

3n

+

1

2

(1+2+3+…+n)，（7分）
令T_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

．①

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

②
①-②得，

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

-

n

3n+1

，
∴Tn=

3

4

-

2n+3

4•3n

，（11分）
∴Sn=

3

4

-

2n+3

4•3n

+

n(n+1)

4

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．