Question

已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；

（Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解：函数的定义域为.        令     当    当  又     故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.    （Ⅱ）证法一：                 由（Ⅰ）结论知 由题设  因此        所以  又 综上  证法二： 设   则  当  在此内为减函数. 当上为增函数. 从而，当有极小值 因此    即  设    则 当   因此上为减函数. 因为 即