Question

(2007北京西城模拟)设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：

①；②，其中，M是与n无关的常数．

(1)若是等差数列，是其前n项的和，，．

证明：；

(2)设数列的通项为，且．求M的取值范围；

(3)设数列的各项均为正整数，且．

证明：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设等差数列的公差是d，则，， 解得，d=－2．所以．由 得，适合条件①； 又， 所以当n=4或5时，取得最大值20，即，适合条件②．综上，． (2)因为． 所以当时，，此时数列单调递减； 当n=1，2时，， 即， 因此数列中的最大项是， 所以． (3)假设存在正整数k， 使得成立． 由数列的各项均为正整数，可得，即． 因为， 所以． 由及， 得， 故． 因为， 所以．… 依此类推，可得． 设，则当m=P时，有， 这显然与数列的各项均为正整数矛盾！ 所以假设不成立，即对于任意，都有成立．