Question

已知椭圆

x2

a12

+

y2

b12

=1(a1＞b1＞0)与双曲线

x2

a22

-

y2

b22

=1(a2＞0，b2＞0)共焦点，点P是该椭圆与双曲线在第一象限的公共点，如果以椭圆的右焦点为焦点，以y轴为准线的抛物线恰过P点，那么椭圆的离心率e₁与双曲线的离心率e₂之间的关系为（　　）

• A．e₂-e₁=1
• B．e₁+e₂=2
• C．

  1

  e1

  -

  1

  e2

  =1
• D．

  1

  e1

  +

  1

  e2

  =2

Answer 1

分析：设椭圆及双曲线的半焦距为c，左右焦点分别为F₁、F₂，P点的坐标为（x，y）．根据圆锥曲线的共同定义，则对于椭圆而言：PF₁=a₁+e₁x，PF₂=a₁-e₁x，对于双曲线而言：PF₁=e₂x+a₂，PF₂=e₂x-a₂，对于抛物线而言：PF₂=x，从而建立a₁-e₁x=e₂x-a₂=x，消去x化简即得答案．

解答：解：设椭圆及双曲线的半焦距为c，左右焦点分别为F₁、F₂，P点的坐标为（x，y）．
则对于椭圆而言：PF₁=a₁+e₁x，PF₂=a₁-e₁x，
对于双曲线而言：PF₁=e₂x+a₂，PF₂=e₂x-a₂，
对于抛物线而言：PF₂=x，
∴a₁-e₁x=e₂x-a₂=x，
∴消去x得：

e 2-1

e 1+1

=

e 1

e 2

⇒e₂-e₁=1．
故选A．

点评：本小题主要考查圆锥曲线的共同特征、圆锥曲线的共同定义的应用、圆锥曲线的几何性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．