Question

已知数列{a_n}为公差大于0的等差数列，S_n为其前n项和，且a₁a₆=21，S₆=66．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足bn=xan+3，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}是等差数列，且c_n=

Sn

n+p

，求常数p．

Answer 1

分析：（1）由 S₆=66 求出a₁+a₆=22，再由a₁a₆=21，公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，求出公差d=4，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）先求出bn=xan+3=x⁴ⁿ⁺⁹，分x=0时、x=1时、x≠0 且x≠-1时三种情况，分别求得，{b_n}的前n项和 T_n的值，
综合可得结论．
（3）先求出 S_n=2n²-n，可得c_n=

Sn

n+p

=

2n2-n

n+p

．再由c₁+c₃=2c₂，由此解得 p的值．

解答：解：（1）∵S₆=66=

6(a1+a6)

2

，∴a₁+a₆=22．再由a₁a₆=21
可得 a₁ 和a₆是方程 x²-22x+21=0的两个根，再由公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，
由于a₆=21=a₁+5d，故公差d=4，故 a_n =4n-3．
（2）bn=xan+3=x⁴ⁿ⁺⁹，
当x=0时，bn=xan+3=0，{b_n}的前n项和 T_n=0．
当x=1时，bn=xan+3=1，{b_n}的前n项和 T_n=n．
当x=-1时，bn=xan+3=-1，{b_n}的前n项和T_n=-n．
当x≠0 且x≠±1时，bn=x4n+9，{b_n}的前n项和 T_n=

x13(1-x4n)

1-x4

．
综合可得，{b_n}的前n项和Tn=

0，x=0 n，x=1 -n，x=-1 x13(1-x4n) 1-x4 ，x≠±1且x≠0

．
（3）∵S_n=n×1+

n(n-1)

2

×4=2n²-n，∴c_n=

Sn

n+p

=

2n2-n

n+p

． 
∵{c_n}是等差数列，∴c₁+c₃=2c₂，即

1

1+p

+

15

3+p

=2×

6

2+p

，
由此解得 p=0，或 p=-

1

2

．

点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．