Question

已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，S_n为前n项和，a₅和a₇的等差中项为11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．令bn=

1

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求a_n及T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于a₅和a₇的等差中项为11，可得a₆=11，又a₂•a₅=a₁•a₁₄．可得

a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d)

，又公差d≠0，解得a₁及d．即可得到a_n．进而得到b_n，利用“裂项求和”即可得到T_n．
（2）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

．当m=2时，化为

4

25

=

n

3(2n+1)

，解得一组m，n的值满足条件．当m≥3时，由于

m

2m+1

关于m单调递增，可知

n

3(2n+1)

≥

9

49

，化为5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立．

解答：解：（1）∵a₅和a₇的等差中项为11，∴a₆=11，又a₂•a₅=a₁•a₁₄．
可得

a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d)

，又公差d≠0，解得

a1=1 d=2

∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（2）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

．
①当m=2时，化为

4

25

=

n

3(2n+1)

，解得n=12，此时m=2，n=12．
②当m≥3时，由于

m

2m+1

关于m单调递增，
∴

n

3(2n+1)

≥

9

49

，化为5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立．
综上可知：存在唯一一组正整数m=2，n=12（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和“裂项求和”、等比数列的单调性存在性问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．