Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为常数），且b_n=a_n•a_n+1（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}和前n项和S_n；
（Ⅱ）当{b_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列； 乙 同学说：{a_n}一定不是等比数列，请你对甲、乙两人的判断正确与否作出解释．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件求得 b₁=a₁•a₂=a，再由

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

an+1

an-1

=a2，根据等比数列求和公式求出S_n的值．
（Ⅱ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{b_n}的公比为q，则

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=q，且a≠0，{a_n}为：1，a，q，aq，q²，aq²，…，当q=a²时，{a_n}是等比数列； 当q≠a²时，{a_n}不是等比数列．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等比数列，a₁=1，a₂=a，∴a≠0，an=an-1，又b_n=a_n•a_n+1，
∴b₁=a₁•a₂=a，

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

an+1

an-1

=a2，-----（3分）
即{b_n}是以a为首项，a²为公比的等比数列．
∴Sn=

n(a=1) -n(a=-1) a(1-a2n) 1-a2 (a≠±1)

．----（5分）
（Ⅱ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：
设{b_n}的公比为q，则

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=q，且a≠0．-------（8分）
又a₁=1，a₂=a，a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列，
即{a_n}为：1，a，q，aq，q²，aq²，…，
所以当q=a²时，{a_n}是等比数列； 当q≠a²时，{a_n}不是等比数列．--------（12分）

点评：本题主要考查等比关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．