Question

已知函数，函数g(x)的导函数，且

（1）求的极值；

（2）若，使得成立，试求实数m的取值范围：

（3）当a=0时，对于，求证：

 

Answer 1

（1）当a≥0时, 没有极值；当a＜0时，取得极大值=;（2）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）求函数定义域、导数，按照a≥0，a＜0两种情况讨论的符号变化，由极值定义可求得的极值；（2）先由条件求出，存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．令=，x∈（0，+∞），则问题等价于m＜，利用基本不等式可判定导数研究的正负时，从而判定出函数的单调性，从而可求得；（3）当a=0时，先将具体化为，令==，利用导数通过研究的单调性、极值，从而得出函数的图像性质，求出的最小值，只要证明最小值大于零即证明了.

试题解析： （1）函数的定义域为（0，+∞），=（＞0）．

（i）当a≥0时，＞0，

函数在（0，+∞）上单调递增，故没有极值；

（ii）当a＜0时，==，

当x∈（0，﹣）时，＞0；当x∈（﹣，+∞）时，＜0，

∴当x=﹣时，取得极大值=．

（2）∵函数的导函数=，

∴=+c（其中c为常数）

由，得(1+c)e=e，故c=0，

∴=．

若存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．

令=，x∈（0，+∞），则问题等价于m＜，

∴=1﹣，

∵当x∈（0，+∞）时，＞1，≥=，

∴＞1，故＜0，

∴在（0，+∞）上单调递减，

∴＜=3，故m＜3．

（3）解：当a=0时，=lnx，

令=﹣﹣2=﹣lnx﹣2，

=，而=＞0在（0，+∞）上恒成立，

∴在（0，+∞）上单调递增．

设=0的根为x=t，则，即t=．

当x∈(0，t）时，＜0，则在（0，t）上单调递减；

当x∈（t，+∞）时，＞0，则在（t，+∞）上单调递增．

故min====．

由=e﹣1＞0，=﹣2＜0，得t∈，

∵=在（，1）上单调递增，

∴min=＞=+﹣2＞﹣2=0．

∴﹣＞2．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值