Question

已知A是曲线C₁：y=

a

x-2

（a＞0）与曲线C₂：x²+y²=5的一个公共点．若C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，则实数a的值是______．

Answer 1

设点A的坐标为（x₀，y₀），代入两曲线方程得：
y₀=

a

x0-2

①，x₀²+y₀²=5②，
由曲线C₁：y=

a

x-2

得：y′=-

a

(x-2)2

，
则曲线C₁在A处的切线的斜率k=-

a

(x0-2)2

，
所以C₁在A处的切线方程为：y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀，
由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，
得到切线方程y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀过圆C₂的圆心（0，0），
则有-

a

(x0-2)2

（0-x₀）+y₀=0，即y₀=-

ax0

(x0-2)2

③，
把③代入①得：

a

x0-2

=-

a

(x0-2)2

x₀从而x0=1再代入①得：y₀=-a；代入②，
得：1+a²=5（a＞0）．
则a=2（-2舍去）．
故实数a的值为2．