Question

x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(-2，

  1

  4

  )
• B．（-∞，6）
• C．(-∞，

  1

  4

  )
• D．(-

  1

  2

  ，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，可转化成f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，然后将a分离出来，在利用二次函数在给定区间上求出不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围．

解答：解：∵x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，
∴f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，
即a²-a＜

1+2x

4x

=[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x在（-∞，1]上恒成立，
令g（x）=[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x，x∈（-∞，1]，
再令t=(

1

2

)x，则t≥

1

2

，g（x）=t²+t≥

3

4

，
∴a²-a＜

3

4

，解得-

1

2

＜a＜

3

2

，
∴实数a的取值范围是-

1

2

＜a＜

3

2

．
故选D．

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及函数恒成立问题，常常利用参变量分离的方法，同时考查了转化的思想，属于中档题．