Question

设函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=2，证明函数f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，并且x12+x22≥

5

3

；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用求导法则求出f（x）的导函数，令f'（x）=0考虑到判别式大于零得到两个极值点，设x₁＜x₂，讨论函数的增减性得到x₁是极大值点，x₂是极小值点，从而利于韦达定理可证；
（Ⅱ） 利用导数法，求函数f（x）在[0，|a|+1]的最大值，从而可得不等式，进而可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当b=2时，f（x）=x（x-a）（x-2）=x³-（a+2）x²+2ax．f′（x）=3x²-2（a+2）x+2a．…（1分）
∵△=4（a+2）²-24a=4（a²-2a+4）=4（a-1）²+12＞0，
∴方程f'（x）=0有两个不等的实数根x₁，x₂．…（3分）
不妨设x₁＜x₂，则  f′（x）=3（x-x₁）（x-x₂）．
当x＜x₁时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f'（x）＜0；当x＞x₂时，f'（x）＞0．
∴x₁是f（x）的极大值点，x₂是f（x）的极小值点．…（4分）
并且，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=

4

9

(a+2)2-

4

3

a=

4

9

(a2+a+4)=

4

9

(a+

1

2

)2+

5

3

≥

5

3

．
因此，函数f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，并且x12+x22≥

5

3

（当且仅当a=-

1

2

时取等号）…（7分）
（Ⅱ）当a=b（a≠0）时，f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+ax．f′(x)=3x2-4ax+a=3(x-

1

3

a)(x-a)…（8分）
1若a＞02，则f（x）3在[0， 

1

3

a]4上增函数，在[

1

3

a， a]5上为减函数，在[a，a+1]6上为增函数．f（x）在[0，a+1]上的最大值为f(

1

3

a)与f（a+1）中的较大者．
而f(

1

3

a)=

4

27

a3，f（a+1）=a+1．
由f（x）＜2a²在[0，a+1]上恒成立，得

a＞0 4 27 a3＜2a2 a+1＜2a.

…（9分）
即1＜a＜

27

2

．…（11分）
②若a＜0，则f（x）在[0，1-a]上为增函数．f（x）在[0，1-a]上的最大值为f（1-a）=（1-a）（1-2a）²．
∵a＜0，∴1-a＞1，（1-2a）²＞（-2a）²=4a²＞2a²．
∴f（1-a）＞2a²．
因此，a＜0不可能．…（13分）
综上所述，a的取值范围是(1， 

27

2

)．…（14分）

点评：本题以函数为载体，考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力． 考查恒成立问题的处理策略，有一定的综合性．