Question

数列{a_n}满足a₁=1，，其中λ∈R，n=1，2，…．
①当λ=0时，a₂₀=    ；
②若存在正整数m，当n＞m时总有a_n＜0，则λ的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：①当λ=0时，a_n+1=a_n，利用累积法求通项公式后，再求a₂₀即可．
②记b_n=（n=1，2，…），则λ满足．由此可求出故λ的取值范围．
解答：解：①当λ=0时，
a_n+1=a_n，
=
∴

…
=
以上各式相乘得出
=
又a₁=1，
∴a_n=．
a₂₀=
②记b_n=（n=1，2，），根据题意可知，且λ≠n（n∈N^*），这时总存在n∈N^*，满足：当n≥n时，b_n＞0；
当n≤n-1时，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n为偶数，
则，从而当n＞n时，a_n＜0；若n为奇数，则，
从而当n＞n时a_n＞0．因此“存在m∈N^*，当n＞m时总有a_n＜0”
的充分必要条件是：n为偶数，
记n=2k（k=1，2，），则λ满足．
故λ的取值范围是λ∈（2k-1，2k），
故答案为：，（2k-1，2k），（k=1，2，），
点评：本题考查数列知识的综合运用，考查累积法求通项公式，数列的函数性质，需具有计算、推理论证、分类讨论的能力．