Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的三视图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，cos∠A₁=.

(1)在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；

(2)在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁；

(3)若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积.

Answer 1

解:(1)证明:∵主视图和左视图均为矩形,∴该三棱柱为直三棱柱.

又俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，cos∠A₁=，

由余弦定理可得B₁C₁=4,∴∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°.

∴BC⊥AC.

又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，

∴BC⊥平面ACC₁A₁.

∵AC₁平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁.

(2)证明:连BC₁交B₁C于M，则M为BC₁的中点，连DM，则DM∥AC₁.

∵DM平面DCB₁，AC₁平面DCB₁，∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d,d=,

∴左视图的面积S=×5=12.