Question

(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分. 

设直线交椭圆于两点，交直线于点．

（1）若为的中点，求证:；

（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；

（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

 

Answer 1

【答案】

（1）设， 

 ，

又

（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．

证明：由方程组

因为直线交椭圆于两点，

所以，即，设、、

则 ， 

又因为，所以

，故E为CD的中点．

（3）为中点的充要条件是．

【解析】

试题分析：（1）解法一：设

 

 ，

又

解法二（点差法）：设

，

两式相减得

即 

 

（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．

证法一：由方程组

因为直线交椭圆于两点，

所以，即，设、、

则 ， 

又因为，所以

，故E为CD的中点．

证法二：设

则，

两式相减得

即 

又，即

得，即为的中点．

（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．

考点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系

点评：求过定点的圆锥曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．