Question

如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．

Answer 1

（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则
∵AB∥CD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l与底面平行；
（2）设CD的中点为F，连接OF，PF
由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD?底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设，∠OPF=60°
设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=

3

h
∵∠OCP=22.5°，∴OC=

OP

tan∠OCP

=

h

tan22.5°

∵tan45°=

2tan22.5°

1-tan222.5°

=1
∴tan22.5°=

2

-1
∴OC=

h

2 -1

=(

2

+1)h
在Rt△OCF中，cos∠COF=

OF

OC

=

3 h

( 2 +1)h

=

6

-

3

∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos²∠COF-1=17-12

2