Question

【题目】△ABC是等边三角形，边长为4，BC边的中点为D，椭圆W以A，D为左、右两焦点，且经过B、C两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点D且x轴不垂直的直线l交椭圆于M，N两点，求证：直线BM与CN的交点在一条定直线上．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知两焦点为 与 ，可得c= ，2a=6，可得a=3，则b= ，

因此椭圆的方程为 ．

（2）证明：①当MN不与x轴重合时，

设MN的方程为 ，且 ， ，

设M（x1，y1），N（x2，y2）

联立椭圆与直线方程，可得 ，

消去x可得 ，

即 ，

则BM： ①CN： ②

②﹣①得 ，

，

，

，

．

则 ，即 ．

②当MN与x轴重合时，即MN的方程x=0为，即M（3，0），N（﹣3，0）．

即BM： ①，

CN： ②

联立①和②消去y可得 ．

综上BM与CN的交点在直线 上．

【解析】（1）根据题意，结合椭圆的定义得出a，b，c的值，从而得到椭圆的方程，（2）对直线MN的斜率是否为零进行分别讨论，①当斜率不为零时，设出直线MN的方程为x = m y + ，且 B ( ， 2 ) ， C ( ， 2 ) ，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，用韦达定理表示出y1+y2， y 1 y 2，根据点的坐标表示出直线BM，直线CN的方程，联立解出x=3，②当斜率为零时，MN的直线方程为x=0，代入计算也可得x=3，综上结论得证.
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．