Question

【题目】已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．

（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；

（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（I）由椭圆和抛物线y2＝4x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据（I）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值,求此时三角形面积即可.

试题解析：（1）由，得，所以，

又椭圆过点，

所以，解得，

故椭圆的方程为，

设点，则由，得，

即，则，

由，得，

所以线段的长度取得最小值.

（2）由（1）可知，当的长度取得最小值时， ，

将点代入，得，故此时点，

则直线的方程为，此时，

当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值，

设直线，则由，得，

则，所以，或（舍去）．

由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.

故，

即的面积的最大值为.