Question

已知函数f(x)=

2x+1

2x-1

（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明．

Answer 1

（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为f(x)=1+

2

2x-1

，由于2^x-1＞-1，故

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0
故

2

2x-1

＞0或

2

2x-1

＜-2，
∴f(x)=

2x+1

2x-1

的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
f(-x)=

2-x+1

2-x-1

=

2x+1

1-2x

= -

2x+1

2x-1

=-f(x)，故是一个奇函数．
（3）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下
由于f(x)=1+

2

2x-1

，在（0，+∞）上，2^x-1递增且函数值大于0，

2

2x-1

在（0，+∞）上是减函数，故f(x)=1+

2

2x-1

在（0，+∞）上是减函数