Question

已知曲线E：ax²+by²=1（a＞0，b＞0），经过点M(

3

3

，0)的直线l与曲线E交与点A、B，且

MB

=-2

MA

．
（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程．
（2）若a=b=1，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设A（x₀，y₀），进而可表示出

MB

和

MA

，再根据

MB

=-2

MA

，进而可求得x₀和y₀，点A的坐标可得，把点A，B的坐标代入曲线方程可求得a和b，进而可得曲线E的方程．
（2）设AB的中点位T，由条件得|TM|=|TA|-|MA|=

1

6

|AB|，|OM|=

3

3

，进而根据勾股定理联立方程求得|AB|和|OT|，进而可求得
tan∠OMT即直线AB的斜率，最后根据点斜式求得直线AB的方程．

解答：解：（1）设A（x₀，y₀），因为B（0，2），M（

3

3

，0）
故

MB

=（-

3

3

，2），

MA

=（x₀-

3

3

，y₀）．
∵

MB

=-2

MA

．
∴（-

3

3

，2）=-2（x₀-

3

3

，y₀）
∴x₀=

3

2

，y₀=-1，即A（

3

2

，-1）
∵A，B都在曲线E上，所以

a•0+b2 2=1 a•( 3 2 ) 2+b•(-1) 2=1

解得a=1，b=

1

4

∴曲线E的方程为x²+

y2

4

=1
（2）设AB的中点为T，由条件得|TM|=|TA|-|MA|=

1

6

|AB|，|OM|=

3

3

根据Rt△OTA和Rt△OTM得，

|TM|2+|OT|2= 1 3 |TA|2+|OT|2=1

即

1 36 |AB|2+|OT|2= 1 3 1 4 |AB|2+|OT|2=1

，解得|AB|=

3

，|OT|=

1

2

∴在Rt△OTM中，tan∠OMT=

3

，
∴直线AB的斜率为

3

或-

3

∴直线AB的方程为y=

3

x-1或y=-

3

x+1

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．