Question

已知曲线E：ax²+by²=1（a＞0，b＞0），经过点M的直线l与曲线E交与点A、B，且．
（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程．
（2）若a=b=1，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x，y），进而可表示出和，再根据，进而可求得x和y，点A的坐标可得，把点A，B的坐标代入曲线方程可求得a和b，进而可得曲线E的方程．
（2）设AB的中点位T，由条件得|TM|=|TA|-|MA|=|AB|，|OM|=，进而根据勾股定理联立方程求得|AB|和|OT|，进而可求得
tan∠OMT即直线AB的斜率，最后根据点斜式求得直线AB的方程．
解答：解：（1）设A（x，y），因为B（0，2），M（，0）
故=（-，2），=（x-，y）．
∵．
∴（-，2）=-2（x-，y）
∴x=，y=-1，即A（，-1）
∵A，B都在曲线E上，所以
解得a=1，b=
∴曲线E的方程为x²+=1
（2）设AB的中点为T，由条件得|TM|=|TA|-|MA|=|AB|，|OM|=
根据Rt△OTA和Rt△OTM得，
即，解得|AB|=，|OT|=
∴在Rt△OTM中，tan∠OMT=，
∴直线AB的斜率为或-
∴直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．