Question

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则关于f（x）的最小正周期T及y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S的正确结论是（　　）

A．T=4，S=π+1

B．T=2π，S=2π+1

C．T=4，S=2π+1

D．T=2π，S=π+1

Answer 1

分析：沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，由此可得结论．

解答：解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．
下面考查P点的运动轨迹，不妨考查正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动

1

4

个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，再以C为圆心，旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：

∴两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S=2×

1

4

×π+2×

1

2

×1×1+

1

4

×2π=π+1
故选A．

点评：本题考查的知识点是函数图象的变化，解题的关键是根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想进行求解．