Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是CD，A₁D₁中点，
(Ⅰ)求证：AE⊥BF；
(Ⅱ)求证：BF⊥平面AB₁E；
(Ⅲ)棱CC₁上是否存在点P使AP⊥BF，若存在，确定点P位置，若不存在，说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE， 又∵△BAG≌△ADE， ∴∠ABG=∠DAE， ∴AE⊥BG， 又FG∩BG=G， ∴AE⊥平面BFG， ∴AE⊥BF。 (Ⅱ)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B， 又AB1⊥A1F， ∴AB1⊥平面A1BF， ∴AB1⊥BF，AE⊥BF， 又AE∩AB1=A， ∴BF⊥平面AB1E。  (Ⅲ)解：存在，取CC1中点P，即为所求，连接EP，C1D， ∴EP∥C1D，C1D∥AB1， ∴EP∥AB1， ∴AP平面AB1E， 由(Ⅱ)知BF⊥平面AB1E， ∴AP⊥BF。