Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=(cosx，

3

cosx)，函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期、单调增区间；
（3）求函数f（x）在x∈[0，π]时的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算，结合三角函数中的辅助角公式可以求得f（x）的解析式；
（2）由（1）得到f（x）=sin(2x-

π

6

) -

1

2

，利用正弦函数的周期公式，可求得其最小正周期，利用正弦函数的单调性可求其单调增区间；
（3）当x∈[0，π]，易求2x-

π

6

∈[-

11π

6

，

11π

6

]，从而可求得f（x）的最大值及相应的x的值．

解答：解：（1）f(x)= 

a

 •

b

=-cos2x+

3

sinxcosx 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

) -

1

2

；
（2）由（1）f(x)=sin(2x-

π

6

) -

1

2

，
所以最小正周期T=

2π

2

=π；
2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以函数的单调递增区间[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]  ，k∈Z．
（3）当x∈[0，π]时2x-

π

6

∈[-

π

6

，

11π

6

]，所sin(2x-

π

6

) ∈[-1，1]，
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时f（x）取最大值，f(x)max=f(

π

3

) =

1

2

．

点评：本题考查三角函数的性质，关键是掌握好三角函数特别是正弦函数、余弦函数的单调性，最值，周期及图象等性质，是中档题．