Question

5．设x∈R，且2x²+y²=2，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 可先求平方的最大值，结合条件由x²（1+y²）=$\frac{1}{2}$•2x²（1+y²），运用基本不等式，即可最大值，并求得等号成立的条件．

解答 解：由于要求最大值，则x＞0，
由x²（1+y²）=$\frac{1}{2}$•2x²（1+y²）≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2{x}^{2}+1+{y}^{2}}{2}$）²
=$\frac{1}{2}$•（$\frac{2+1}{2}$）²=$\frac{9}{8}$，
当且仅当2x²=1+y²，即有x²=$\frac{3}{4}$，y²=$\frac{1}{2}$，取得等号．
则有x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值为$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，注意满足的条件：一正二定三等，属于中档题．