Question

（2012•安徽模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四边形ABCD为直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，侧棱PB与底面ABCD成30°角，点M是PB上的动点，且

PM

PB

=λ（λ∈[0，1]）．
（1）若CM∥平面PAD，求λ的值；
（2）当λ为何值时，CM与平面PAD所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在底面四边形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推导出四边形CDNM是平行四边形．从而能够找到点M在线段PB上使PA=4PN处．
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点，求出平面PAD的法向量，从而可得cos＜

n•

CM

＞=

-4λ+1

2 2 • 4λ2-2λ+1

设

n

，

CM

分别所在直线所成锐角为θ，则cosθ=

|-4λ+1|

2 2 • 4λ2-2λ+1

=

2

4

×

4- 3 4(λ- 1 4 )2+ 3 4

，cosθ最大，θ最小，CM与与平面PAD所成的角φ=

π

2

-θ最大，故可得结论．

解答：解：（1）在底面四边形ABCD中
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取点N，使PA=4PN，
连接NM，MC，ND，
在△PAB中，
∵

PN

PA

=

PM

PB

=

1

4

，∴MN∥AB，MN=

1

4

AB，
∴四边形CDNM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，λ=

1

4

．
（2）以C为坐标原点，CB，CD，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（2

3

，4，0），B（2

3

，0，0），C（0，0，0）
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，z）
由

n • PA =0 n • PD =0

，可得

2 3 x+4y-2z=0 y-2z=0

，∴

x=- 3 z y=2z

令z=1，则

n

=（-

3

，2，1）
∵

n•

CM

=-8λ+2，|

n

|=2

2

，|

CM

|=2

4λ2-2λ+1

∴cos＜

n•

CM

＞=

-4λ+1

2 2 • 4λ2-2λ+1

设

n

，

CM

分别所在直线所成锐角为θ，则cosθ=

|-4λ+1|

2 2 • 4λ2-2λ+1

=

2

4

×

4- 3 4(λ- 1 4 )2+ 3 4

∵λ∈[0，1]，∴λ=1时，cosθ最大，从而θ最小，CM与与平面PAD所成的角φ=

π

2

-θ最大
∴sinφ=sin（

π

2

-θ）=cosθ=

6

4

点评：本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量方法求解立体几何问题．