Question

（本小题满分16分）

已知函数是偶函数.

（1）求的值；

（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数与方程的综合运用。

（1）∵是偶函数，∴对任意，恒成立即：恒成立，∴

（2）由于，所以定义域为，

也就是满足∵函数与的图象有且只有一个交点，

∴方程在上只有一解

即：方程在上只有一解，结合指数函数构造二次函数求解得到。

解：（1）∵是偶函数，

∴对任意，恒成立            2分

即：恒成立，∴       5分

（2）由于，所以定义域为，

也就是满足                                              7分

∵函数与的图象有且只有一个交点，

∴方程在上只有一解

即：方程在上只有一解                9分

令则，因而等价于关于的方程

（*）在上只有一解                    10分

①  当时，解得，不合题意；                  11分

②  当时，记，其图象的对称轴

  ∴函数在上递减，而

  ∴方程（*）在无解                               13分

③  当时，记，其图象的对称轴

所以，只需，即，此恒成立

∴此时的范围为                                  15分

综上所述，所求的取值范围为                         16分