Question

已知数列{a_n}是等差数列，且3a₅＝8a₁₂＞0，数列{b_n}满足b_n＝a_na_n+1a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n项和为S_n，当n多大时，S_n取得最大值？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：设数列{an}的公差为d，则由3a5＝8a12得3a5＝8(a5＋7d)， 　　∴a5＝－d＞0．∴d＜0． 　　∴a16＝a5＋11d＝－d＋11d＝－d＞0， 　　a17＝a5＋12d＝－d＋12d＝d＜0． 　　∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18＞…． 　　∴b1＞b2＞b3＞…b14＞0，0＞a17＞a18＞…， 　　b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0． 　　由于a15＝a5＋10d＝－d＋10d＝－d，a18＝a5＋13d＝－d＋13d＝d， 　　∴a18＞|a15|＝a15． 　　∴b16＞|b15|＝－b15． 　　∴S16＝S14＋b15＋b16＞S14． 　　综上所述，在数列{bn}的前n项和为Sn中，前16项的和S16最大． 　　思路解析：先由3a5＝8a12＞0判断公差d的符号，再判断数列{an}中符号发生改变的项，从而判断数列{bn}中符号发生改变的项．