Question

（本题满分12分）

过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，

（Ⅰ）求证：P点的轨迹为一条直线；

（Ⅱ）已知点F（0，1），是否存在实数使得？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（本小题满分12分）

证法（一）：（Ⅰ）设

由得： 

………………………………3分

直线PA的方程是：即    ①  

同理，直线PB的方程是：                  ②

由①②得：∴点P的轨迹方程是……6分

（Ⅱ）由（1）得：

 …………………………10分

所以

故存在=1使得…………………………………………12分

证法（二）：（Ⅰ）∵直线PA、PB与抛物线相切，且

∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且

设PA的直线方程是

由得：

即…………………………3分

即直线PA的方程是：

同理可得直线PB的方程是：

由得：

故点P的轨迹方程是……………………………………6分

（Ⅱ）由（1）得：

………………………………10分

故存在=1使得…………………………………………12分