Question

设y=f(x)是R上的奇函数．

f(x＋2)=－f(x)．当－1≤x≤1时，．

(1)试证：直线x=1是函数y=f(x)图象的对称轴；

(2)试求xÎ [1，5)时，f(x)解析式；

(3)若A={x||f(x)|＞a，xÎ R，且，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵f(1＋x)=f[2＋(x－1)]=－f(x－1)=f(1－x)， ∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称． (2)当xÎ [1，3]时，2－xÎ [－1，1]， 则， 当xÎ [3，5]时，x－2Î [1，3]， 则． ∴ (3)f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)， ∴f(x)是以4为周期的函数． ∴{y|y=f(x)，xÎ R}={y|y=f(x)，1≤x≤5}， ∵f(x)在[1，3]上是减函数，∴－1≤f(x)≤1； 又f(x)在[3，5]上是增函数， ∴－1≤f(x)≤1，∴f(x)的值域为[－1，1]， 即|f(x)|≤1，故a＜1．