Question

一条斜率为1的直线?与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线?与y轴交于点R，且，，求直线与双曲线方程．

Answer 1

【答案】分析：由离心率化简双曲线方程，设出直线?方程，代入双曲线方程，利用根与系数的关系，代入2个关于向量的等式求待定系数．
解答：解：∵双曲线的离心率为，b²=2a²，
∴双曲线方程即：-=1，设直线?方程：y=x+k，点R（0，k）
代入双曲线方程得：x²-2kx-k²-2a²=0，设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2k，则x₁•x₂=-k²-2a²，
∵，∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁•x₂+（x₁+k）（x₂+k）=2x₁•x₂+k（x₁+x₂）+k²
=2（-k²-2a²）+k•2k+k²=k²-4a²=-3      ①，
∵，
∴（x₂-x₁，x₂-x₁）=4（x₂-0，x₂+k-k），∴x₁=-3x₂②
把②代入根与系数的关系得：x₁=3k，x₂=-k，k²=a²，
再由①得：a=1，k=±1，
∴直线?的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0，
双曲线的方程：x²-=1．
点评：本题考查双曲线的性质、向量运算、直线与双曲线的位置关系．